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尽管该实验事例尚不足以坐实暗物质已被发现，但暗物质作为现代宇宙学的主要课题之一，恰逢物理课讲到宇宙学相关内容。因此，张朝阳便以经典的 “星系旋转曲线” 为切入点，讲解暗物质的相关物理知识。

星系并非是静态的，它要抵抗引力、避免坍缩，其中组成星系的各恒星系统就需要围绕着星系中心不停地公转，就像在太阳系中各行星围绕太阳不停公转那样。在各恒星系统（或星系气体）公转的时候，它们会具有往外甩的趋势，这种趋势需要刚好与星系对恒星系统的引力达成平衡，才能使得整个星系既不塌缩，也不分崩离析。根据圆周运动的性质可以知道，这种向外甩的趋势其实就是圆周运动的向心加速度 v^2/r，这里的 v 是公转速度，r 是公转半径。公转速度 v 随着 r 变化的函数图像，就被称为星系旋转曲线。

为了快速说明 v 与 r 的关系，张朝阳举例了行星绕恒星公转。在牛顿引力框架下，行星公转的加速度大小需满足

\frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}

由此得到

v\propto\frac{1}{\sqrt{r}}

尽管上述推导只直接适用于中心质量占主导，或位于有限质量分布足够远处的情形，但是在后文会基于合理的星系盘模型，证明牛顿引力框架下的星系旋转曲线在 r 较大的范围上也满足上述关系。

随后，张朝阳向网友们展示了星系旋转曲线的理论预测和实际观测之间的差异，如下图所示。理论预言的公转速度，随着 r 增大而先增大，然后以 1/\sqrt{r} 的趋势下降，但是实际观测却表明，速度在增大到一定程度之后几乎保持不变了，并没有如料想的那样下降。

（张朝阳展示星系旋转曲线理论预测和实际观测之间的差异）

他进一步解释，尽管牛顿引力理论不是严格成立的，更严格的计算理应使用爱因斯坦的广义相对论，但是由于广义相对论在弱引力、低速情况下会退回牛顿引力，而星系外沿的引力并不强，因此使用牛顿引力理论进行计算是完全可以的，理论预测与实际观测的误差也绝不会是因为没有使用广义相对论。

面对星系旋转曲线理论预测和实际观测之间的差异，在目前物理学界中主要有两条解决路径，一个是修改引力理论，另一个是引入暗物质。修改引力理论很容易理解，就是修改引力的强度表达式，使星系旋转曲线符合实际观测；而引入暗物质，则是告诉人们，银河系周围存在我们看不见的物质成分，因此在计算星系旋转曲线时所用的物质分布模型是不对的。引入暗物质的理由并不局限于星系旋转曲线，宇宙学的其他方面也有必要引入暗物质，本次物理直播课暂不涉及这些方面。

牛顿引力理论中的星系旋转曲线

介绍完星系旋转曲线和暗物质的相关背景后，张朝阳进行了星系旋转曲线的理论推导。由于银河系呈现盘状，因此他将银河系近似为旋转对称的薄盘，如下图所示。

（薄盘模型示意图）

整体的推导思路是：先求引力势，然后求径向梯度得到径向引力分布，从而由平衡条件可得到速度与半径的关系。采用柱坐标系，z=0 对应星系盘所在平面，z 轴为星系的旋转轴。设要求引力势的位置为 (r,\phi=0,z=0) ，考虑位置为 (r_1,\phi,z) 的质量微元 \mathrm{d}m，它在所考察位置产生的引力势正比于

\frac{\mathrm{d}m}{l}

其中，l 是 \mathrm{d}m 到所考察位置的距离，借助勾股定理可以得到

\begin{aligned}l^2 &= (r-r_1\cos\phi)^2+(r_1\sin\phi)^2+z^2\\&= r^2-2rr_1\cos\phi+r_1^2+z^2\end{aligned}\qquad(1)

接着设星系的质量密度分布为 \rho(r,\phi,z) 。考虑到现在的模型是薄盘模型，质量分布主要集中在 z=0 平面上，因此可以将其理想化为面密度分布。再考虑到旋转对称性，因此质量密度分布取为

\rho(r,\phi,z)=\sigma(r)\delta(z)

实验观测表明，银河系面亮度随着半径增加而指数衰减。如果假设银河系的发光物质密度与亮度成正比，那么质量面密度分布会是指数型的：

\sigma(r)\propto\mathrm{e}^{-\beta r}\qquad(2)

将使用该面密度模型来推导星系旋转曲线。借助质量密度分布的表达式，可得

\mathrm{d}m=\sigma(r_1)\delta(z)\mathrm{d}V=\sigma(r_1)\delta(z)r_1\mathrm{d}r_1\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z

再结合式(1)，可以得到所求位置的引力势满足

\begin{aligned}\psi(r) &\propto \iiint\frac{\sigma(r_1)\delta(z)r_1\mathrm{d}r_1\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z}{(r^2-2rr_1\cos\phi+r_1^2+z^2)^{1/2}}\\&= \int_0^\infty\int_0^{2\pi}\frac{\sigma(r_1)r_1\mathrm{d}r_1\mathrm{d}\phi}{(r^2-2rr_1\cos\phi+r_1^2)^{1/2}}\end{aligned}

由于面密度分布依赖于 r_1，因此接下来先进行对 \phi 的积分会方便一些，引用泊松-索宁积分公式：

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\phi}}=\int_0^{\infty}J_0(ka)J_0(kb)\mathrm{d}k

其中，J_0 是第零阶贝塞尔函数，a,b>0 且 a\neq b。借助泊松-索宁积分公式可以得到

\begin{aligned}\psi(r) &\propto \int_0^\infty\mathrm{d}r_1\,\sigma(r_1)r_1\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi}{(r^2+r_1^2-2rr_1\cos\phi)^{1/2}}\\&\propto \int_0^{\infty}r_1\mathrm{d}r_1\,\mathrm{e}^{-\beta r_1}\int_0^\infty J_0(kr)J_0(kr_1)\mathrm{d}k\\&=\int_0^\infty\mathrm{d}k\,J_0(kr)\int_0^\infty r_1\mathrm{e}^{-\beta r_1}J_0(k r_1)\mathrm{d}r_1\end{aligned}

上式第二步已经代入了指数模型下的面密度分布表达式（见前文式(2)）。为了进行接下来的推导，张朝阳向网友们介绍了拉普拉斯-贝塞尔积分：

\int_0^\infty\mathrm{e}^{-\alpha x}J_0(kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+k^2}}

这本质上就是零阶贝塞尔函数的拉普拉斯变换。由上式可得

\begin{aligned}\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-\beta x}J_0(kx)\mathrm{d}x &= -\frac{\partial}{\partial\beta}\int_0^\infty\mathrm{e}^{-\beta x}J_0(kx)\mathrm{d}x\\&= -\frac{\partial}{\partial\beta}\frac{1}{\sqrt{\beta^2+k^2}}=\frac{\beta}{(\beta^2+k^2)^{3/2}}\end{aligned}

将其用到 \psi(r) 的表达式中，有

\psi(r)\propto\int_0^\infty\mathrm{d}k\,J_0(kr)\frac{\beta}{(\beta^2+k^2)^{3/2}}=\int_0^\infty\frac{\beta J_0(kr)}{(\beta^2+k^2)^{3/2}}\mathrm{d}k

根据圆周运动的动力学性质可以知道

\frac{v^2}{r}\propto f_r\propto \frac{\partial\psi(r)}{\partial r}

其中，f_r 表示引力场的径向分量。由上面两式可得

\begin{aligned}v^2 &\propto r\frac{\partial\psi(r)}{\partial r}=r\int_0^\infty\frac{k\beta J_0'(kr)}{(\beta^2+k^2)^{3/2}}\mathrm{d}k\\&=\frac{r}{\beta^2}\int_0^\infty\frac{k J_0'(kr)}{\left[1+\left(\frac{k}{\beta}\right)^2\right]^{3/2}}\mathrm{d}k\\&\propto \frac{r}{\beta^2}\int_0^\infty\frac{k J_1(kr)}{\left[1+\left(\frac{k}{\beta}\right)^2\right]^{3/2}}\mathrm{d}k\end{aligned}

最后一步使用了贝塞尔函数的递推关系 J_0'(x)=-J_1(x)。在上式中做积分换元 x=k/\beta，结果可以写成

v^2\propto r\int_0^\infty\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x\qquad(3)

只要开一次方，就可以得到 v 随 r 的变化关系了。

（张朝阳推导星系物质旋转速度与半径的关系）

小半径下与大半径下的渐近行为

有了 v^2 与 r 的积分关系式，原则上直接使用数值计算就能画出函数图了，但是为了更快速地进行对比，还需要求出其渐近行为。由于面密度分布为

\sigma(r)\propto\mathrm{e}^{-\beta r}

可见 1/\beta 是密度分布的特征范围：当 r\gg1/\beta 时，密度分布迅速趋向于零。因此，可以通过将 r 与 1/\beta 做对比来决定半径是大还是小。

接下来先考虑小半径的情况，此时 r\ll 1/\beta，也就是 r\beta\ll1。将式(3)的积分分成三部分：

\text{I}:\;0<x\lesssim 1,\qquad \text{II}:\;1\ll x\ll\frac{1}{\beta r},\qquad \text{III}:\;x\gtrsim\frac{1}{\beta r}

对于第II区域，有 \beta rx\ll 1 以及 x\gg1，利用 J_1(y) 的泰勒展开

J_1(y)=\frac{y}{2}+\mathcal{O}(y^3)

可得

\begin{aligned}r\int_{\text{II}}\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x &\approx r\int_1^{\frac{1}{\beta r}}\frac{x(\beta r x/2)}{x^3}\mathrm{d}x\\&\propto r^2\int_1^{\frac{1}{\beta r}}\frac{1}{x}\mathrm{d}x= r^2\ln(\frac1{\beta r})\end{aligned}

对于区域I，有 \beta rx\ll 1，于是

r\int_{\text{I}}\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x \approx r\int_0^{1}\frac{x(\beta r x/2)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x\propto r^2

对于区域III，有 x\gtrsim 1/(\beta r)\gg 1，于是

\begin{aligned}r\int_{\text{III}}\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x &\approx r\int_{1/(\beta r)}^{\infty}\frac{xJ_1(\beta r x)}{x^3}\mathrm{d}x\\&= \beta r^2\int_1^\infty\frac{J_1(y)}{y^2}\mathrm{d}y\propto r^2\end{aligned}

这说明无论是区域I还是区域III，都只是正比于 r^2 的，因此占主导的是区域II，于是得到，在 \beta r\ll 1 时，

v(r)\sim r\sqrt{\ln(\frac{1}{\beta r})}

考虑半径比较大时的情况，此时 \beta r\gg 1。因为 J_1(y)=-J_0'(y)，所以利用分部积分法可得

\begin{aligned}r\int_0^\infty\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x &= r\int_0^\infty\frac{-xJ_0'(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x\\&= \frac{1}{\beta}\int_0^\infty\frac{(1-2x^2)}{(1+x^2)^{5/2}}J_0(\beta r x)\mathrm{d}x\end{aligned}

考虑到贝塞尔函数在自变量趋向于正无穷时，贝塞尔函数的取值会剧烈震荡，因此上述积分在 x 取值较大的区域上几乎没有多少贡献，主导项由靠近零的区域给出，于是得到

\begin{aligned}r\int_0^\infty\frac{xJ_1(\beta r x)}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x &\sim \left.\frac{1}{\beta}\int_0^\infty\frac{(1-2x^2)}{(1+x^2)^{5/2}}\right|_{x=0}J_0(\beta r x)\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{\beta}\int_0^{\infty}J_0(\beta rx)\mathrm{d}x=\frac{1}{\beta^2 r}\end{aligned}

上式最后一步使用了拉普拉斯-贝塞尔积分（令 \alpha\to0^+ 即可）：

\int_0^\infty\mathrm{e}^{-\alpha x}J_0(kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+k^2}}

由此可以知道，当 \beta r\gg 1 时，有

v(r)\sim\frac{1}{\sqrt{r}}

综上所述可得

v(r)\sim\begin{cases}\displaystyle r\sqrt{\ln(\frac{1}{\beta r})}\,, &\text{if}\; \beta r\ll 1;\\\displaystyle\quad\frac{1}{\sqrt{r}}\,, &\text{if}\; \beta r\gg 1.\end{cases}

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